Logaritmo

 

¿Qué es el logaritmo?

El logaritmo es el exponente de una potencia con cierta base, el logaritmo de un número debe ser positivo, es decir, el argumento y la base de un logaritmo corresponde a números reales(números positivos).

Simbología del logaritmo

El logaritmo se representa mediante la abreviatura:

log

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Partes del logaritmo

El logaritmo consta de 3 partes fundamentales:

log_b a = c

• La letra "a": Es el argumento.
• La letra "b": Es la base del logaritmo.
• La letra "c": Es el logaritmo o resultado del logaritmo.

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Propiedades de los logaritmos

Existen diferentes propiedades logarítmicas para simplificar una ecuación matemática, a continuación se mencionan las propiedades básicas de los logaritmos:

• Logaritmo de la unidad: El resultado del logaritmo con argumento igual a 1 siempre es igual a 0.
  a = 1log_b (1) = 0

  Es muy sencillo comprobar, si elevamos el número base del logaritmo a la potencia del resultado que sería cero daría como resultado 1, por lo tanto, cualquier número elevado a la potencia “0” resultaría 1 que corresponde al valor del argumento.

  b⁰ = 1
  Ejemplos:A) log₃ (1) = 0
  B) log₅ (1) = 0
  C) log₄ (1) = 0
  D) log₁₀ (1) = 0
• Logaritmo de la base: Si el argumento y la base son del mismo valor el logaritmo o resultado es igual a 1.
  Teniendo a = b el resultado c = 1log_b b = 1

  Caso especial: Si el argumento y la base tienen un valor de 1 se considera la propiedad “logaritmo de la unidad”.

  Ejemplos:A) log₃ (3) = 1
  B) log₈ (8) = 1
  C) log₆ (6) = 1
  D) log₅ (5) = 1
• Logaritmo de una potencia: El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo.log_b aⁿ = n log_b aEjemplos:A) log₂ (2)⁴ = 4 log₂ 2 = 4
  B) log₃ (9)² = 2 log₃ 9 = 2 x 2 = 4
  C) log₅ (125)³ = 3 log₅ 125 = 3 x 3 = 9
  D) 2 log₁₀ (10)⁴ = 2 x 4 log₁₀10 = 8
• Logaritmo de una potencia con igual base: Si el argumento es igual al valor de la base, se considera que el valor del logaritmo es igual al exponente de la potencia.
  Teniendo aⁿ y a = b el resultado c = nlog_b bⁿ = nEjemplos:A) log₃ (3)⁵ = 5
  B) log₈ (8)⁴ = 4
  C) log₆ (6)³ = 3
  D) log₅ (5)⁹ = 9
• Logaritmo de una potencia en la base y con igual base: Si el argumento es igual al valor de la base, se considera que el valor del logaritmo es igual a uno entre el valor del exponente de la potencia base.
  Teniendo bⁿ y a = b el resultado c = 1 / nlog_bⁿ b = 1 / nEjemplos:A) log_3² (3) = 1/2
  B) log_8⁴ (8) = 1/4
  C) log_6³ (6) = 1/3
  D) log_5⁹ (5) = 1/9
• Logaritmo de una raíz: El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz.
  log_b (ⁿ√a^m) 
  = 

  mn

  (log_b a)
  Ejemplos:A) log₈ (⁴√64⁸) 
  = 

  84

  (log₈ 64) = 4
  
  B) log₅ (²√125⁶) 
  = 

  62

  (log₅ 125) = 9
• Logaritmo del producto: El logaritmo de un producto de factores, en este caso argumento uno (a₁) y argumento dos (a₂) es la suma de los logaritmos de los factores.log_b (a₁ x a₂) = log_b (a₁) + log_b (a₂)Ejemplo:
  A) log₃(3 x 2) = log₃3 + log₃2 = 1 + log₃2
  B) log₆(12 x 2) = log₆12 + log₆2

Logaritmo del cociente: El logaritmo de un cociente es igual a la resta del logaritmo considerando como argumento el numerador (a₁), menos el logaritmo considerando como ardumento el denominador (a₂).

log_b 

a₁a₂

= log_b (a₁) - log_b (a₂)

Ejemplo:

A) log₅ 

253

= log₅ (25) - log₅ (3) = 2 - log₅(3)

B) log₆ 

23

= log₆ (2) - log₆ (3)

• Logaritmo de uno sobre el argumento: Cuando se tiene uno sobre el argumento es posible simplificar la ecuación del logaritmo y facilitar el procedimiento a emplear.
  log_b 

  1a

  = - log_b a
  Ejemplos:
  A) log₅ 

  125

  = - log₅ (25) = - 2
  
  
  B) log₄ 

  116

  = - log₄ (16) = -2
• Otras propiedades:
  log_bⁿ a = 

  1n

  log_b a
  log_1/b a = - log_b a

Importante: Para aplicar las propiedades de los logaritmos, sus bases tienen que ser iguales.